/category/math/ /archives/236/ 2017-05-25T20:24:07+08:00 ###Description 给一棵树，每个点点权 $$a_i$$，保证 $$a_i$$各不相同，现在随机选两个点 $$u,v$$，求 $$f(u,v)=\phi(a_u\cdot a_v)\cdot dis(u,v)$$ 的期望，$$mod\ 10^9+7$$。 链接：[http://codeforces.com/contest/809/problem/E](http://codeforces.com/contest/809/problem/E "http://codeforces.com/contest/809/problem/E") ###Solution 首先，有一个结论：$$\phi(a\cdot b)=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot g}{\phi(g)},g=gcd(a,b)$$ 证明：考虑找一个 $$x$$，使得 $$x|b,gcd(\frac{b}{x},a)=1,gcd(x,\frac{b}{x})=1$$ 且 $$a$$ 包含 $$x$$ 中所有质因子。 那么 $$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot x\cdot\phi(\frac{b}{x})=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot x}{\phi(x)}$$ 显然，$$x$$ 是 $$g$$ 的倍数，所以 $$\frac{x}{g}=\frac{\phi(x)}{\phi(g)}$$，所以$$\phi(a\cdot b)=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot g}{\phi(g)}$$ 有了这个结论之后可以考虑点分，那么设 $$dis(x)$$ 表示 $$x$$ 到当前根的距离。 设 $$h(x)=\frac{x}{\phi(x)}$$，那么$$f(u,v)=\phi(a_u)\cdot\phi(a_v)\cdot h(g)\cdot(dis(u)+dis(v)),g=gcd(a_u,a_v)$$ 考虑当 $$u$$ 确定时，需要知道 $$\sum\phi(a_v)\cdot h(gcd(a_u,a_v))$$ 和 $$\sum\phi(a_v)\cdot h(gcd(a_u,a_v))\cdot dis(v)$$。 设 $$g(x)=h(x)-\sum[y|x,y\neq x]g(y)$$，那么 $$h(gcd(a_u,a_v))=\sum[x|a_u,x|a_v]g(x)$$ 这样就可以直接枚举约数算贡献了。 ###Code ```c++ #include typedef long long ll; inline void repr(int&a,int b){if(ato,x); sz[x]+=sz[i->to]; } } inline void dfs2(int x,int fa) { int t=rsz-sz[x]; for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) { repr(t,sz[i->to]); dfs2(i->to,x); } if(tne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) dfs3(i->to,x,dis+1); } inline void dfs4(int x,int fa,int dis) { int a=phi[w[x]],b=(ll)a*dis%P,A,B; foe(i,v[w[x]]) { get(*i,A,B); ans=(ans+(ll)a*B+(ll)b*A)%P; } for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) dfs4(i->to,x,dis+1); } inline void work(int x) { dfs1(x,0); rsz=nsz=sz[x],nro=x; dfs2(x,0); vis[x=nro]=1; foe(i,v[w[x]])set(*i,phi[w[x]],0); for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(!vis[i->to]) { dfs4(i->to,x,1); dfs3(i->to,x,1); } fo0(i,qe)g[q[i]]=h[q[i]]=-1; qe=0; for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(!vis[i->to])work(i->to); } int main() { fo1(i,N-1)for(int j=i;j /archives/181/ 2017-02-28T00:16:00+08:00 ###Description ![fa(1).jpg][1] ###Solution $$\sum_i^n\sum_j^m[\mu(gcd(i,j))\neq 0]lcm(i,j)$$ $$=\sum_k^n|\mu(k)|\sum_i^{\frac{n}{k}}\sum_j^{\frac{n}{k}}[gcd(i,j)=1]i\cdot j\cdot k$$ $$=\sum_k^n|\mu(k)|\cdot k\sum_d^{\frac{n}{k}}\mu(d)\cdot d^2\sum_i^{\frac{n}{k\cdot d}}\sum_j^{\frac{m}{k\cdot d}}i\cdot j$$ $$=\sum_k^n\sum_d[d|k]\mu(d)\cdot d^2\cdot|\mu(\frac{k}{d})|\cdot\frac{p}{d}\cdot\frac{\frac{n}{k}\cdot(\frac{n}{k}+1)}{2}\cdot\frac{\frac{m}{k}\cdot(\frac{m}{k}+1)}{2}$$ 最后的式子，前面是积性函数，后面根号分块 ###Code ```c++ #define _GLIBCXX_IOSTREAM #include #define N 4000001 int pri[N],pm,f[N],ps[N],pc[N]; bool np[N]; int main() { for(int i=2;i /archives/154/ 2016-12-16T23:38:00+08:00 ###Description 给出正整数N（可能有前导0），请求出N!最右非零的数位的值。 ###Input 第一行一个数T表示数据组数 下接T行每行一个数N表示一组数据 ###Output 对于每组数据，输出一行一个数表示这组数据的答案 ###Sample Input 2 5 4 ###Sample Output 2 4 ###Solution 随便lucas一下就好了，然而懒得写高精，就用了python，于是实力rank last ###Code ```python T=int(raw_input()) for I in range(T): n=int(raw_input());t=n;a=0;b=0;c=1 while t>0:t/=2;a+=t while n>0:c=c*[1,1,2,1,4,4,4,3,4,1][n%10]%5;n/=5;b+=n a=a-b+1 if a>1:a=0 t=3 while b>0: if b&1:c=c*t%5 t=t*t%5 b/=2 print (a*5+c*6)%10 ``` /archives/87/ 2016-11-29T23:24:00+08:00 ###Description 外面有一圈N个结点，中心有一个结点与N个结点都相连，总共就是2*N条边，删除N条边，使N+1个点连通，旋转相同视为等价，问有多少种情况。 ![1.jpg][1] ###Input 输入N，M 3 /archives/54/ 2016-10-16T00:59:00+08:00 ###Description 根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的： 第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。 第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。 第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。 第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。 如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。 然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素…… 然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。 至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？ 上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。 你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。 一句话题意： ![1.png][1] ###Input 接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值 ###Output T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值 ###Sample Input 3 2 3 6 ###Sample Output 0 1 4 ###HINT 对于100%的数据，T /archives/33/ 2016-09-18T23:41:00+08:00 ###Description 求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。 ###Input 只有一个正整数n,n0;i--) { int a=nn-i*i,b=sqrt(nn-i*i); if(b*b==a) { int c=2*b*i,d=std::abs(b*b-i*i); if(!(c&&d))continue; if(!(f[c*(n/nn)]||f[d*(n/nn)])) { f[c*(n/nn)]=f[d*(n/nn)]=1; ans+=8; } } } return ans; } void dfs(int id,int nn) { if(id==cc) { ans+=solve(n/nn); return; } dfs(id+1,nn); dfs(id+1,nn*x[id]); } int main() { for(int i=2;i /archives/27/ 2016-09-14T19:14:00+08:00 ###Description ![1407.jpg][1] ###Input 第1行为一个整数N(1