/2017/05/ 个人博客，（曾经）基本只放题解，现在随便写点啥了吧（ /archives/236/ 2017-05-25T20:24:07+08:00 ###Description 给一棵树，每个点点权 $$a_i$$，保证 $$a_i$$各不相同，现在随机选两个点 $$u,v$$，求 $$f(u,v)=\phi(a_u\cdot a_v)\cdot dis(u,v)$$ 的期望，$$mod\ 10^9+7$$。 链接：[http://codeforces.com/contest/809/problem/E](http://codeforces.com/contest/809/problem/E "http://codeforces.com/contest/809/problem/E") ###Solution 首先，有一个结论：$$\phi(a\cdot b)=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot g}{\phi(g)},g=gcd(a,b)$$ 证明：考虑找一个 $$x$$，使得 $$x|b,gcd(\frac{b}{x},a)=1,gcd(x,\frac{b}{x})=1$$ 且 $$a$$ 包含 $$x$$ 中所有质因子。 那么 $$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot x\cdot\phi(\frac{b}{x})=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot x}{\phi(x)}$$ 显然，$$x$$ 是 $$g$$ 的倍数，所以 $$\frac{x}{g}=\frac{\phi(x)}{\phi(g)}$$，所以$$\phi(a\cdot b)=\frac{\phi(a)\cdot\phi(b)\cdot g}{\phi(g)}$$ 有了这个结论之后可以考虑点分，那么设 $$dis(x)$$ 表示 $$x$$ 到当前根的距离。 设 $$h(x)=\frac{x}{\phi(x)}$$，那么$$f(u,v)=\phi(a_u)\cdot\phi(a_v)\cdot h(g)\cdot(dis(u)+dis(v)),g=gcd(a_u,a_v)$$ 考虑当 $$u$$ 确定时，需要知道 $$\sum\phi(a_v)\cdot h(gcd(a_u,a_v))$$ 和 $$\sum\phi(a_v)\cdot h(gcd(a_u,a_v))\cdot dis(v)$$。 设 $$g(x)=h(x)-\sum[y|x,y\neq x]g(y)$$，那么 $$h(gcd(a_u,a_v))=\sum[x|a_u,x|a_v]g(x)$$ 这样就可以直接枚举约数算贡献了。 ###Code ```c++ #include typedef long long ll; inline void repr(int&a,int b){if(ato,x); sz[x]+=sz[i->to]; } } inline void dfs2(int x,int fa) { int t=rsz-sz[x]; for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) { repr(t,sz[i->to]); dfs2(i->to,x); } if(tne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) dfs3(i->to,x,dis+1); } inline void dfs4(int x,int fa,int dis) { int a=phi[w[x]],b=(ll)a*dis%P,A,B; foe(i,v[w[x]]) { get(*i,A,B); ans=(ans+(ll)a*B+(ll)b*A)%P; } for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(i->to!=fa&&!vis[i->to]) dfs4(i->to,x,dis+1); } inline void work(int x) { dfs1(x,0); rsz=nsz=sz[x],nro=x; dfs2(x,0); vis[x=nro]=1; foe(i,v[w[x]])set(*i,phi[w[x]],0); for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(!vis[i->to]) { dfs4(i->to,x,1); dfs3(i->to,x,1); } fo0(i,qe)g[q[i]]=h[q[i]]=-1; qe=0; for(edge*i=p[x];i;i=i->ne) if(!vis[i->to])work(i->to); } int main() { fo1(i,N-1)for(int j=i;j