mcfx's blog - CDQ分治

mcfx's blog - CDQ分治 /category/cdq/ zh-CN Sun, 08 Jan 2017 00:20:00 +0800 Sun, 08 Jan 2017 00:20:00 +0800 BZOJ 2989: 数列 & 4170: 极光 /archives/163/ /archives/163/ Sun, 08 Jan 2017 00:20:00 +0800 admin

###Description
给定一个长度为n的正整数数列a[i]。
定义2个位置的graze值为两者位置差与数值差的和，即graze(x,y)=|x-y|+|a[x]-a[y]|。
2种操作（k都是正整数）：
1.Modify x k：将第x个数的值修改为k。
2.Query x k：询问有几个i满足graze(x,i)<=k。因为可持久化数据结构的流行，询问不仅要考虑当前数列，还要考虑任意历史版本，即统计任意位置上出现过的任意数值与当前的a[x]的graze值<=k的对数。（某位置多次修改为同样的数值，按多次统计）

###Input
第1行两个整数n,q。分别表示数列长度和操作数。
第2行n个正整数，代表初始数列。
第3--q+2行每行一个操作。

###Output
对于每次询问操作，输出一个非负整数表示答案

###Sample Input
3 5
2 4 3
Query 2 2
Modify 1 3
Query 2 2
Modify 1 2
Query 1 1

###Sample Output
2
3
3

###HINT
N<=60000 修改操作数<=40000 询问<=60000 Max{a[i]}含修改<=100000

###Solution
这道题其实是维护两种操作，向平面上加点，查询菱形内点数
把(x,y)变为(x+y,x-y)，菱形就变成了正方形
假设某个询问是以(x0,y0)为中心，边长为2k的正方形，那么可以拆成两个，一个是x>=x0-k且x<=x0+k且y<=y0+k的点数，另一个是x>=x0-k且x<=x0+k且y<y0-k的点数，把两个询问做差就和原询问相同
那么可以CDQ分治，按y排序，x用树状数组维护

###Code
```c++
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,m,s[60001],ans[60000],ac,qc,mx;

struct query
{
	int x,y,k,id;char op;
}q[230000],tmp[230000];

inline void add(int x,int y){q[qc].x=x+y,q[qc].y=x-y,qc++,mx=max(mx,x+y);}

int p[160001];
inline void pl(int x){for(;x<=mx;x+=x&-x)p[x]++;}
inline int qr(int x){if(x<=0)return 0;int r=0;for(x=min(x,mx);x;x^=x&-x)r+=p[x];return r;}
inline void cl(int x){for(;x<=mx;x+=x&-x)p[x]=0;}

void work(int l,int r)
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	work(l,mid),work(mid+1,r);
	int i1=l,i2=mid+1,ti=l;
	for(;i2<=r;tmp[ti++]=q[i2++])
	{
		for(;i1<=mid&&q[i1].y<=q[i2].y;tmp[ti++]=q[i1++])
			if(!q[i1].op)pl(q[i1].x);
		if(q[i2].op)
		{
			if(q[i2].op==1)
				ans[q[i2].id]+=qr(q[i2].x+q[i2].k)-qr(q[i2].x-q[i2].k-1);
			else
				ans[q[i2].id]+=qr(q[i2].x-q[i2].k-1)-qr(q[i2].x+q[i2].k);
		}
	}
	for(;i1<=mid;tmp[ti++]=q[i1++]);
	for(i1=l;i1<=mid;i1++)if(!q[i1].op)cl(q[i1].x);
	for(i1=l;i1<=r;i1++)q[i1]=tmp[i1];
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",s+i),add(i,s[i]);
	char tmp[10];int a,b;
	while(m--)
	{
		scanf("%s%d%d",tmp,&a,&b);
		if(tmp[0]=='M')
			add(a,s[a]=b);
		else
		{
			int x=a+s[a],y=a-s[a];
			q[qc].x=x,q[qc].y=y+b,q[qc].k=b,q[qc].id=ac,q[qc].op=1,qc++;
			q[qc].x=x,q[qc].y=y-b-1,q[qc].k=b,q[qc].id=ac,q[qc].op=2,qc++;
			ac++;
		}
	}
	work(0,qc-1);
	for(int i=0;i<ac;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
}
```

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